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Modelagem matemática: aplicação na programação de produção em laticínios

INDÚSTRIA DE LATICÍNIOS

EM 08/12/2020

7 MIN DE LEITURA

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É relevante ressaltar a importância da utilização de técnicas computacionais que possibilite uma melhor gestão empresarial. Uma forma de implementar essa melhoria é fazendo uso da aplicabilidade da pesquisa operacional, que pela metodologia de maximização da margem de contribuição visa determinar um mix de produtos a serem processados de maneira sistêmica e estratégica.

No século passado, quando os primeiros computadores começaram a operar, a aplicação da matemática como uma alternativa para a compreensão de eventos não matemáticos ganhou força, de forma que estas máquinas ofereceram possibilidades para a resolução de equações que antes não eram resolvidas ou dependiam de grandes esforços. À medida que os computadores foram sendo aprimorados as simulações matemáticas complexas passaram a contribuir para a evolução de outras ciências.

Este recurso é chamado de modelagem matemática. Para Bassanezi (2004), modelar matematicamente é resolver problemas reais transformando-os em problemas matemáticos e interpretando essas soluções na linguagem real. Desta forma, é possível alcançar um modelo onde relações matemáticas e símbolos traduzem o objeto estudado.

Diante destes conceitos é possível questionar, qual a importância de estudar os modelos matemáticos e como eles podem contribuir para a otimização de uma produção?

A programação da produção pode ser considerada como sendo um dos principais fatores responsáveis pelo bom desempenho de uma empresa. De acordo com Moreira (2015), realizar o balanceamento da linha de produção traz diversas vantagens como, por exemplo, reduzir custos de processamento e operação das máquinas e minimizar os tempos ociosos.

Desta forma, a necessidade de se obter resultados operacionais satisfatórios requer a atualização constante de conhecimentos sobre métodos determinísticos que possam mostrar o que produzir e quanto produzir, de forma que o retorno financeiro seja o máximo possível.

É relevante ressaltar  a importância da utilização de técnicas computacionais que possibilite uma melhor gestão empresarial. Uma forma de implementar esta melhoria é fazendo uso da aplicabilidade da pesquisa operacional, que pela metodologia de maximização da margem de contribuição visa determinar um mix de produtos a serem processados de maneira sistêmica e estratégica.

Para Andrade (2009) a pesquisa operacional (PO) é um ramo da ciência administrativa que fornece instrumentos para a análise de decisões. Já Winston (2004) menciona que este termo se refere a uma abordagem científica relacionada à tomada de decisão, que busca projetar e operar um conjunto ou apenas um sistema de maneira mais eficiente, que na maioria dos casos se caracteriza na alocação de recursos escassos.

A PO lida com várias técnicas de gerenciamento, buscando otimizar o sistema. A otimização  pode ser entendida como valores atribuídos às variáveis de decisão que buscam minimizar custos ou maximizar os lucros de uma determinada função objetivo.

O desenvolvimento da pesquisa operacional teve influência direta de dois fatores consideráveis: o primeiro foi a criação de um algoritmo utilizado para resolução de problemas de programação linear, com o nome de simplex, com o propósito de ser uma metodologia eficiente e simples; já o outro fator preponderante foi a proliferação da tecnologia especificamente dos microcomputadores e de sua velocidade de processamento (MOREIRA, 2015; TAHA, 2008).

De acordo Ahlert (2014), programação linear (PL) é a técnica que busca a solução ótima do problema estudado baseada na relação linear entre suas características, de maneira que essas são representadas e relacionadas com base em equações lineares.

É considerada uma das mais difundidas da pesquisa operacional, pois o nível das equações que compõem  é tido como simples e sua modelagem  é realizada com base na matemática básica.

Para Bronson e Naadimuthu (1997), um problema de programação linear é composto pelas variáveis de decisão, pela função objetivo e pelas restrições. O Quadro 1 mostra os respectivos significados desses e de outros assuntos que compõem o modelo.

Quadro 1. Principal composição de um problema de programação linear

Descrição

Características

 

Variáveis de decisão

São incógnitas a serem manipuladas no processo de busca pela solução ótima. Pode-se atribuir quaisquer valores a elas desde que pertençam ao conjunto de números reais. Os valores atribuídos às variáveis de decisão possuem obrigatoriedade de satisfazer um conjunto de restrições, de acordo com a região de soluções viáveis do problema.

Função objetivo (FO)

É a representação do principal objetivo do estudo, sendo descrita por uma função matemática juntamente com as variáveis de decisão. Pode ser de dois tipos: de minimização (seja de custos, erros), ou de maximização (de lucro, receita, utilidade etc.). Sua solução é considerada como ótima.

Restrições

Conhecidas como as limitações do modelo, são as regras que limitam o uso dos recursos ou das atividades associadas ao estudo

Modelo

Representação da realidade de estudo de maneira simplificada, apresentado por meio de equações matemáticas que possibilitam simular a realidade.

Parâmetros

Também são variáveis, mas não são variáveis de decisão. A diferença entre ambas é que as variáveis de decisão não podem ser controladas pelo tomador de decisão. Já os parâmetros, ao se admiti-los como valores fixos, encontra-se a solução do problema.

Função linear

Uma função f(x¹, x², ..., xn) das variáveis x¹, x², ...,xn é considerada uma função linear se a mesma for do tipo:

f(x¹, x², ..., xn) = c¹.x¹ + c².x² + ... + cn.xn,

sendo c1, c2, ..., cn valores constantes.

Algoritmo

Sequência de instruções que gera um determinado resultado dependendo de uma determinada entrada.

Fonte: Adaptado de Ahlert et al. (2014), Colin (2015).

No entanto, quando há adição de muitas restrições, começa ficar trabalhoso encontrar o ponto onde os custos são mínimos ou o lucro é máximo. Para isso utiliza-se um método da álgebra matricial chamado simplex, que diminui o número de operações necessárias para resolver problemas maiores.

O simplex é um algoritmo que examina toda uma sequência de pontos em uma região viável e encontra a solução ótima. Este procedimento faz com que a região viável, de um canto a outro, seja analisada até que todos os incrementos na função objetivo sejam testados.

De modo geral, os modelos desenvolvidos são de difícil e lenta solução, sujeitos ao erro humano. Por esta razão, o uso do computador revolucionou a forma de utilização da programação linear, passando de problemas estratégicos, de longo prazo, para situações operacionais, de curtíssimo prazo.

Segundo Botacim (2019) e Colin (2017), o método simplex se baseia em três princípios para prevenir buscas trabalhosas e trazer soluções básicas. O primeiro consiste em buscar soluções básicas que atendam às restrições. O segundo visa melhorar o possível valor para a função objetivo a cada interação de acordo com o problema, se de maximização ou de minimização. Já o terceiro trata dos testes das regras de parada do algoritmo, seja em resposta à solução encontrada, ilimitada ou à não existência de solução.

Para demonstrar na prática o princípio descrito acima, foi realizado um estudo em uma cooperativa de laticínios localizada na região leste de Minas Gerais, na qual foi identificado o problema de otimização. Tendo em vista que o objetivo foi conseguir a quantidade dos produtos que maximize a margem de contribuição total com o uso da programação linear, a solução do plano ótimo foi feita com o auxílio da modelagem matemática, dada a necessidade de se encontrar uma técnica que respeitasse as restrições do estudo.

A compilação do modelo matemático proporcionou uma margem de contribuição (MC modificada) máxima de R$ 7.075.618,32/mês, um aumento de 11,5% em comparação com a margem de contribuição atual que é de R$ 6.210.706,58/mês. Entretanto, os resultados obtidos na análise das restrições, ainda permitiam o acréscimo de valores nos itens restritivos.

Ao realizar uma nova simulação, respeitando os limites ali obtidos, e com a mesma modelagem, o modelo gerou um objetivo máximo de R$ 15.616.990,20/mês na margem de contribuição mensal. Isto significa um aumento de 151,45% de oportunidade de incremento nos resultados financeiros da empresa.

Portanto, é possível admitir que, na pesquisa operacional, o desenvolvimento e solução de um problema de programação linear contribui para identificar a produção ótima de uma fábrica. De modo que, a obtenção dos resultados computacionais permite fazer várias inferências que apresentem impactos tanto na parte administrativa da empresa. Por fim, ressalta-se que a associação de conceitos, princípios e métodos aqui utilizados podem auxiliar empresas de forma muito eficiente e confiável.

Este artigo foi escrito por Thiago Viana Carvalho e Heitor Cardoso de Brito. 

Referências

AHLERT, F. et al. Pesquisa operacional – programação linear passo a passo: do entendimento do problema à interpretação da solução. Rio Grande do Sul: Unisinos, 2014.

ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para análise de decisões. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, 2004.

BOTACIM, R. S. et al. Pesquisa Operacional: a comparação de dois métodos para resolução de um problema de programação linear. Perspectivas Online: Exatas & Engenharia, v. 09, n. 24, p. 19-33, 2019. Disponível em: https://www.researchgate.net/publication/333791135_PESQUISA_OPERACIONAL_A_COMPARACAO_DE_DOIS_METODOS_PARA_RESOLUCAO_DE_UM_PROBLEMA_DE_PROGRAMACAO_LINEAR. Acesso em 25 out. 2019.

BRONSON, R.; NAADIMUTHU, G. Operations Research. 2. ed. NewYork: McGraw-Hill, 1997.

COLIN, E. C. Pesquisa operacional: 170 aplicações em estratégia, finanças, logística, produção, marketing e vendas. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2017.

MOREIRA, D. A. Pesquisa operacional: curso introdutório. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.

TAHA, H. A. Pesquisa operacional: uma visão geral. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.

WINSTON, W. L. Operations Research, 4ª ed., Thomson, Belmont, 2004.

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